多圆盘中的特异簇与交换压缩算子的膨胀

多圆盘 $\mathbb D^n$ 中的特异簇是一个仿射复代数簇，它与 $\mathbb D^n$ 相交，并穿过 $n$ 维环面 $\mathbb T^n$ 离开该域，而不与 $\mathbb D^n$ 拓扑边界的任何其他部分相交。我们借助某些线性矩阵束的 Taylor 联合谱，找到了多圆盘 $\mathbb D^n$ 中特异簇的两种不同刻画，从而推广了 Agler 与 M\raise.45ex\hbox{c}Carthy [Acta Math., 2005] 关于 $\mathbb D^2$ 中特异簇的开创性工作。我们证明，多圆盘 $\mathbb D^n$ 中的特异簇是仿射代数曲线的一部分，该曲线是集合论意义上的完全交。我们还证明，若 $(T_1, \dots , T_n)$ 是交换的 Hilbert 空间压缩算子元组，使得 $T=\prod_{i=1}^n T_i$ 的缺陷空间为有限维，则 $(T_1, \dots , T_n)$ 容许交换酉膨胀 $(U_1, \dots , U_n)$，其中 $U=\prod_{i=1}^n U_i$ 是 $T$ 的极小酉膨胀，当且仅当与 $(T_1, \dots , T_n)$ 相关的某些矩阵在多圆盘 $\mathbb D^n$ 中定义了一个特异簇。