基于测试映射的双曲等距离散性

令 $\mathbb F=\mathbb R$、$\mathbb C$ 或 $\mathbb H$。令 ${\bf H}_{\mathbb F}^n$ 表示 $n$ 维 $\mathbb F$-双曲空间。令 ${\rm U}(n,1; \mathbb F)$ 为通过等距作用作用的线性群。若 ${\rm U}(n,1; \mathbb F)$ 的子群 $G$ 不在 $\mathbb F$-双曲空间闭包上固定点，也不保持其中的全测地子空间，则称其为\emph{Zariski 稠密}的。我们证明：对于 ${\rm U}(n,1; \mathbb F)$ 的 Zariski 稠密子群 $G$，若对每个loxodromic元 $g \in G$，由两生成元生成的子群 $\langle f, g \rangle$ 是离散的，则 $G$ 是离散的，其中 $f \in {\rm U}(n,1; \mathbb F)$ 是一个未必属于 $G$ 的测试映射。