离散 Morse 三明治：标量数据持久图的快速计算——一种算法与一个基准

本文介绍一种高效的持久图计算算法，输入为定义在 $d$ 维单纯复形 $K$ 上的分段线性标量场 $f$，其中 $d \leq 3$。我们的工作以离散 Morse 理论（DMT）重新审视了开创性算法“PairSimplices”[31]、[103]，大幅减少了需考虑的输入的单纯形数量。此外，我们还将 DMT 推广并加速“PairSimplices”中所述的层化策略，以快速计算第 $0$ 与第 $(d - 1)$ 持久图，记为 $D_0(f)$ 与 $D_{d-1}(f)$。极小-鞍点持久对（$D_0(f)$）与鞍点-极大持久对（$D_{d-1}(f)$）通过对 $1$-鞍点的不稳定集与 $(d - 1)$-鞍点的稳定集使用并查集处理而高效计算。这种对维度 $0$ 与 $(d - 1)$ 的快速预计算使得 [4] 可激进地特化至 3D 情形，从而大幅减少计算 $D_1(f)$（三明治的中间层）所需的输入单纯形数。最后，我们借助共享内存并行记录了若干性能改进。我们提供算法的开源实现以供复现。我们还贡献了一个可复现的基准包，其利用来自公共仓库的三维数据并将我们的算法与多种公开可用实现进行比较。大量实验表明，我们的算法将所扩展的开创性“PairSimplices”算法的时间性能提升了两个数量级。此外，相较于所选取的 14 种竞争方法，它在内存占用与时间性能上均更优，相较最快的可用方法有实质性增益，同时产生严格一致的输出。