双参数持续模的精确匹配距离之渐近改进

在拓扑数据分析领域，持续模用于表达数据集的几何特征。匹配距离 $d_\mathcal{M}$ 通过取持续模的 $1$ 参数切片之间的最大瓶颈距离来度量 $2$ 参数持续模之间的差异。先前计算 $d_\mathcal{M}$ 的最佳精确算法运行时间为 $O(n^{8+\omega})$、空间为 $O(n^4)$，其中 $n$ 为模的生成元与关系个数，$\omega$ 为矩阵乘法常数。我们对此作了显著改进，给出了一个期望运行时间 $O(n^5 \log^3 n)$、使用空间 $O(n^2)$ 的算法。我们首先通过对偶平面中的线排列（其中每个点代表一个切片）进行遍历，在 $O(n^5\log n)$ 时间内解决决策问题 $d_\mathcal{M}\leq \lambda$（$\lambda$ 为常数）。接着我们将线排列提升到 $\mathbb{R}^3$ 中的平面排列，其顶点代表 $d_\mathcal{M}$ 的可能取值，并使用随机增量法搜索顶点以求得 $d_\mathcal{M}$。该算法的期望运行时间为 $O((n^4+T(n))\log^2 n)$，其中 $T(n)$ 为判定 $d_\mathcal{M}\leq \lambda$ 的复杂度的上界。此外，我们展示了如何仅使用线性空间计算匹配距离，代价是时间复杂度大幅恶化。