离散弹性丝带：面向一维能量模型的统一离散微分几何框架

弹性丝带是由细长结构组成，其长度（$L$）、宽度（$W$）和厚度（$b$）满足 $L \gg W \gg b$，其机械行为介于一维杆（$L \gg W, b$）和二维板（$L, W \gg b$）之间。二次 Kirchhoff 型杆基模型，如离散弹性杆（DER），其支配平衡方程与宽度无关，因此无法捕捉宽度相关的机械效应。简化的中心线基丝带模型试图通过耦合弯曲扭转能量来捕捉宽度依赖性。然而，由于缺乏统一的仿真框架，这些模型的相对准确性尚不清晰。本文提出一种基于离散微分几何的框架，其中能量表示为沿中心线的耦合弯曲-扭转应变函数，而非 DER 中弯曲和扭转能量的线性求和。我们推导了能量的解析梯度和 Hessian，使其能够进行隐式时间积分。在这一统一的设置下，我们比较了五种丝带模型：Kirchhoff、Sadowsky、Wunderlich、Sano 和 Audoly。作为基准，一条直丝带被纵向约束成预紧曲柱，并施加横向位移，诱导超临界 pitchfork 分岔。预测的分岔阈值与基于壳体的有限元仿真进行比较，Sano 模型在捕捉宽度相关位移方面提供了最接近的 agreement。我们的高性能 JAX 实现实现了 $\mathcal{O}(N)$ 的每迭代成本，也确认 Sano 模型相对于标准 DER 引入的每迭代开销可忽略不计。