分布载荷作用下螺旋细丝的有效拉伸 - 扭转弹性与动力学

我们研究了受分布力和力矩作用的细长螺旋弹性杆。聚焦于螺旋轴保持笔直的情形，我们利用多尺度方法从 Kirchhoff 杆方程系统地推导出了“等效杆”理论：该螺旋细丝被描述为一根自然笔直的杆（与螺旋轴对齐），其拉伸变形与扭转变形是耦合的。重要的是，我们的分析在“高度卷曲”细丝的极限下（即螺旋波长远小于细丝因外部载荷而弯曲的特征长度尺度时）是渐近精确的，并且能够处理大幅度的非稳态位移。此外，我们的分析得出了螺旋轴保持笔直所必须满足的外部载荷的显式条件。在小变形极限下，我们精确恢复了用于描述螺旋线圈弹簧自由振动的耦合波动方程，从而证明了先前假设线性化刚度系数在局部和动态上适用的等效杆近似是合理的。随后，我们通过两种载荷情景说明了我们的理论：(I) 重螺旋杆在自重作用下的变形；(II) 粘性流体中轴向旋转（twirling）的动力学，这可被视为细菌鞭毛细丝的简单模型。在这两种情景中，即使超出了高度卷曲假设的形式有效性范围，我们的结果与完整 Kirchhoff 杆方程的解也表现出极好的一致性。更广泛地说，我们的分析为在各种物理和生物环境中开发螺旋杆的简化模型提供了框架，并为其弹性失稳提供了分析见解。特别是，我们的分析表明，当同时存在分布力和力矩时，拉伸失稳是一种普遍现象。