非散度形式线性椭圆方程的离散 ABP 估计与收敛率

我们针对有界但不一定凸的区域 $\Omega$ 中非散度形式的线性椭圆偏微分方程 $A(x) : D^2 u(x) = f(x)$ 设计了一种双尺度有限元方法 (FEM)，并在最大范数下对其进行了研究。细尺度由网格尺寸 $h$ 给出，而粗尺度 $\epsilon$ 则由偏微分方程的积分微分近似决定。我们证明了只要网格是面弱锐角的，对于任何一致正定矩阵 $A$，该有限元方法均满足离散最大值原理 (DMP)。我们建立了一个适用于有限元分析的离散 Alexandroff-Bakelman-Pucci (ABP) 估计。其证明依赖于一个离散 Alexandroff 估计，该估计用凸分段线性函数次微分的测度（即其梯度的跳跃）来表达该函数的最小值。在关于 $A$ 和 $u$ 的适当正则性假设下，离散 ABP 估计导出了如下形式的逐点误差估计：\begin{equation*} \| u - u^{\epsilon}_h \|_{L_\infty(\Omega)} \leq \, C(A,u) \, h^{2\alpha /(2 + \alpha)} \big| \ln h \big| \qquad 0< \alpha \leq 2, \end{equation*} 前提是 $\epsilon \approx h^{2/(2+\alpha)}$。此类收敛率最高为 $h \big| \ln h \big|$ 阶，事实证明这是拟最优的。