可数集上的不连续性与对合

对于有理数的任意无限子集$X$以及在$X$中没有孤立点的子集$F \subseteq X$，我们构造一个函数$f: X \to X$，使得对于每个$x\in X$都有$f(f(x))=x$，且$F$是$f$的不连续点集。