关于 $\operatorname{lip} f$ 有限的集合

给定一个函数 $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$，所谓的“小 lip”函数 $\operatorname{lip} f$ 定义如下：\begin{equation*} \operatorname{lip} f(x)=\liminf_{r{\scriptscriptstyle \searrow} 0}\sup_{|x-y|\le r} \frac{|f(y)-f(x)|}{r}. \end{equation*} 我们证明，如果 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，那么 $\operatorname{lip} f$ 为无穷大的集合是一个闭集的可数交的可数并（即 $F_{\sigma \delta}$ 集）。另一方面，给定一个闭集的可数并 $E$，我们构造一个连续函数 $f$，使得 $\operatorname{lip} f$ 恰好在 $E$ 上为无穷大。进一步的结果是，对于实轴上典型的连续函数 $f$，$\operatorname{lip} f$ 几乎处处为零。