U(N) 上从恒等矩阵出发的 Dyson 布朗运动的 dip-ramp-plateau 现象

在最近的工作中，本文作者证明了 U(N) 上从恒等矩阵出发的 Dyson 布朗运动的本征值概率密度函数是一类新近识别的称为循环 Pólya 系综的随机酉矩阵的例子。一般而言，后者表现出相关核的结构化形式。专门考察 U(N) 上从恒等矩阵出发的 Dyson 布朗运动这一情形，可将谱密度矩与谱形因子 $S_N(k;t)$ 用某个超几何多项式显式求出。经变换后，这可借助参数为 $(N(\mu - 1),1)$ 的雅可比多项式来识别，其中 $\mu = k/N$，$k$ 为标记傅里叶系数的整数。根据文献中已有的关于后者渐近性的结果，可以给出谱密度矩的渐近形式，以及 $\lim_{N \to \infty} {1 \over N} S_N(k;t) |_{\mu = k/N}$。这些进而使我们能对平均 $\langle | \sum_{l=1}^N e^{ i k x_l} |^2 \rangle$ 的大 $N$ 行为给出定量描述。后者展现出 dip-ramp-plateau 效应，该效应正从多体量子混沌与黑洞信息置乱的角度引起近期关注。