纯亚循环域的微分主因子与Polya性质

Barrucand与Cohn关于纯三次域$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{D})$及其Galois闭包$\mathbb{Q}(\zeta_3,\sqrt[3]{D})$（具3种类型）的主分解理论，被推广到纯五次域$L=\mathbb{Q}(\sqrt[5]{D})$与纯亚循环域$N=\mathbb{Q}(\zeta_5,\sqrt[5]{D})$（具13种可能类型）。该分类基于单位群$U_N$作为自同构群$\mathrm{Gal}(N/K)$（$N$ over分圆域$K=\mathbb{Q}(\zeta_5)$）上模的Galois上同调，利用Hasse与Iwasawa关于单位范指数$(U_K:N_{N/K}(U_N))$与原始歧义主理想数$\#(\mathcal{P}_{N/K}/\mathcal{P}_K)$的Herbrand商定理，后者可解释为该差$\mathfrak{D}_{N/K}$的主因子。借助范同态核与中心正交幂等元确定了微分主因子群的精确结构。通过Parry与Walter涉及子域单位指数$(U_N:U_0)$的类数关系建立了与整表示理论的联系。推广Leriche与Zantema关于纯三次域$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{D})$的Galois闭包$\mathbb{Q}(\zeta_3,\sqrt[3]{D})$的Polya性质判据，我们证明仅1种类型的纯亚循环域$N=\mathbb{Q}(\zeta_5,\sqrt[5]{D})$不能是Polya域。所有理论结果均由对13种可能类型及其在$2\le D<10^3$范围内900个规范化根数的统计分布的广泛数值验证所支撑。