涉及规定雅可比行列式的微分包含与 Young 测度

这项工作提出了一般性原理，秉承凸积分 (convex integration) 的精神，导出了一种表征方法，用于刻画由 $W^{1,p}$ 空间（其中 $p$ 小于空间维数）中映射的梯度所生成的 Young 测度，且其雅可比行列式 (Jacobian determinant) 受到一系列约束。有两个特例在弹性理论和流体动力学理论中尤为重要：(a) 生成的梯度具有正雅可比行列式，且一致远离零；(b) 基础变形是不可压缩的，对应于其雅可比行列式恒为一。这一表征结果及其各种推论强调了雅可比行列式在次临界 Sobolev 空间中的灵活性，并为先前已知的点态雅可比行列式的病态现象提供了更系统和普遍的视角。最后，我们证明了对于小于维数的 $p$，$W^{1,p}$-拟凸性和 $W^{1,p}$-保向拟凸性都不适合作为非线性弹性的凸性条件，因为在非线性弹性中假设当雅可比行列式趋近于零时能量会趋于无穷大。