双字母二次密度 Hales Jewett 猜想中的差集

带 $2$ 个字母的二次密度 Hales Jewett 猜想指出，对足够大的 $n$，$\{0,1\}^{n^{2}}$ 的每个稠密子集都包含一条组合线，其中通配符集形如 $\gamma \times \gamma$，这里 $\gamma \subset \{1,2,\dots n\}$。我们以初等的定量方式证明，对足够大的 $n$，$\{0,1\}^{n^{2}}$ 的每个稠密子集都包含两个元素，使得它们不同的坐标点集合(我们称之为这两个元素的差集)形如 $\gamma_{1}\times \gamma_{2}$，其中 $\gamma_1, \gamma_2$ 均为 $\{1,2,\dots n\}$ 的非空子集。进一步，我们给出 $\{0,1\}^{n^{2}}$ 的若干非平凡稠密向量子空间例子，在每种情形中可获得的组合线的通配符集在其大小和形状上均有限制。