密度Hales-Jewett数与Moser数

对于任意$n \geq 0$和$k \geq 1$，\emph{密度Hales-Jewett数}$c_{n,k}$定义为立方体$[k]^n$ := $\{1,...,k\}^n$中不包含组合线的最大的子集的大小；类似地，Moser数$c'_{n,k}$是立方体$[k]^n$中不包含几何线的最大的子集的大小。Furstenberg和Katznelson的一个深刻定理表明，当$n \to \infty$时，$c_{n,k}$ = $o(k^n)$（这蕴含了$c'_{n,k}$的类似结论）；即使对于$k = 3$，这已经非平凡。最近也建立了该结果的几个新证明。通过使用人工和计算机辅助论证，我们计算了$c_{n,k}$和$c'_{n,k}$在小的$n,k$下的若干值。例如，$n=0,...,6$时序列$c_{n,3}$为$1,2,6,18,52,150,450$，而$n=0,...,6$时序列$c'_{n,3}$为$1,2,6,16,43,124,353$。我们还证明了关于更高$k$的一些结果，例如表明LYM不等式（与$k = 2$情形相关）的类比对于更高$k$不成立，并建立了渐近下界$c_{n,k} \geq k^n \exp(- O(\sqrt[\ell]{\log n}))$，其中$\ell$是满足$2k > 2^\ell$的最大整数。