整数与 Hales-Jewett 立方中的染色与密度

对每个整数 $k\geq 3$ 与每个实数 $\mu\in(0, \frac{k-1}{k})$，我们构造整数集 $X=X(k, \mu)$，其在以有限多种颜色染色时含有单色 $k$ 项等差数列，而每个有限子集 $Y\subseteq X$ 都有子集 $Z\subseteq Y$ 满足 $|Z|\geq \mu |Y|$ 且不含长为 $k$ 的等差数列。这回答了 Erd\H{o}s、Ne\v{s}et\v{r}il 及第二作者提出的问题。此外，我们得到一个类似的多维命题以及该结果的 Hales-Jewett 版本。