从菲涅耳曲面确定电磁介质

我们研究四维流形上的麦克斯韦方程组，其中电磁介质由反对称 $2\choose 2$ 张量 $\kappa$ 描述。在此设定下，Tamm-Rubilar 张量密度在每个余切空间中确定一个四阶多项式曲面。该曲面称为菲涅耳曲面，并作为由洛伦兹度量确定的光锥的推广；菲涅耳曲面将电磁波速参数化为方向的函数。Favaro 和 Bergamin 最近证明，如果 $\kappa$ 仅具有主部，并且 $\kappa$ 的菲涅耳曲面与洛伦兹度量 $g$ 的光锥重合，则 $\kappa$ 与 $g$ 的霍奇星算子成比例。也就是说，在附加假设下，$\kappa$ 的菲涅耳曲面决定了 $\kappa$ 的共形类。本文的目的有两个。首先，我们使用 Gr\"obner 基给出该结果的一个新证明。其次，我们描述了一些情况，其中菲涅耳曲面不能确定原始 $2\choose 2$ 张量 $\kappa$ 的共形类。例如，如果 $\kappa$ 可逆，我们证明 $\kappa$ 和 $\kappa^{-1}$ 具有相同的菲涅耳曲面。