由混合体积均值确定布尔模型

在Weil (2001)中，证明了关于 $\mathbb{R}^d$ 中具有凸或多凸颗粒的平稳布尔模型 $Z$ 的公式，这些公式将 $Z$ 的混合体积密度表示为底层泊松粒子过程 $X$ 的相关均值。这些公式随后被用于证明在二维和三维中 $Z$ 的均值确定了 $X$ 的强度 $\gamma$。对于 $d=4$ 也陈述了相应结果，但所给证明不完整，因为在平均欧拉示性数 $\overline V_0 (Z)$ 的公式中遗漏了一项 $\overline V^{(0)}_{2,2}(X,X)$。Goodey和Weil (2002)指出了这一点，并解释说需要混合体积与混合平移泛函的一个新的分解结果来完成证明。这样一个一般的分解结果现在已基于所涉及凸体的旗测度可得（Hug, Rataj和Weil (2013, 2017)）。在此，我们表明此类旗表示不仅导致四维结果的正确推导，甚至在所有维度上给出了相应的唯一性定理。在后者的证明中，我们利用了Alesker关于平移不变赋值的表示定理。我们还讨论了以这种方式能获得何种形状信息，并评论了非平稳情形下的状况。