检测不变扩张锥以生成字集从而识别分段线性映射中的混沌

我们展示对于 $\mathbb{R}^N$ 上的连续分段线性映射 $f$，三个对象 $\Omega_{\rm trap}$、${\bf W}$ 和 $C$ 的存在性如何蕴含 $f$ 具有带正 Lyapunov 指数的拓扑吸引子。首先，$\Omega_{\rm trap} \subset \mathbb{R}^N$ 是 $f$ 的捕获区域。其次，${\bf W}$ 是一个有限字集，它编码了 $\Omega_{\rm trap}$ 中所有点的前向轨道。最后，$C \subset T \mathbb{R}^N$ 是由 ${\bf W}$ 中字构成的 $f$ 复合映射导数的一个不变扩张锥。我们开发了一种算法，为由两个仿射片组成的三维同胚识别这些对象。主要工作在于 $\Omega_{\rm trap}$ 和 $C$ 的显式构造。它们的存在性以一般方式等价于一组可计算条件。这导致在相对较大的参数空间区域内得到混沌的计算机辅助证明。我们还观察到 $C$ 扩张性的失效如何与 $f$ 的分岔相吻合。Lyapunov 指数使用单侧方向导数计算，以便将与切换流形（此处 $f$ 不可微）相交的前向轨道也纳入分析。