Kaufmann模型的可毁灭性与可公理化性

Kaufmann模型是$\omega_1$类、递归饱和、相当无类的$\mathrm{PA}$或$\mathrm{ZF}$模型。此类模型由Kaufmann在组合原理$\diamondsuit_{\omega_1}$下构造,而Shelah通过绝对性论证表明它们在$\mathrm{ZFC}$中存在。Kaufmann模型是$\omega_1$不紧性的重要见证,类似于Aronszajn树。在本文中,我们考察与之相关的一些集合论问题,其动机来自一个看似朴素的问题:这样的模型能否在不坍缩$\omega_1$的情况下被力迫'杀死'。我们表明该问题的答案独立于$\mathrm{ZFC}$,并与关于Aronszajn树的类似问题密切相关。作为这些方法的应用,我们还表明:Kaufmann模型是否能在逻辑$L_{\omega_1, \omega} (Q)$中被公理化(其中$Q$为量词'存在不可数多个')也独立于$\mathrm{ZFC}$。