利用导数描述 $\mathbb{K}[x]$ 的子代数

我们针对 $\mathbb{K}[x]$ 中余有限维子代数 $A$ 引入子代数谱 $Sp(A)$ 的概念。该谱是底层域的一个子集。我们还引入了一个工具,即 $A$ 的特征多项式,其零点集正是该谱。特征多项式可由 $A$ 的生成元算出,从而允许我们在给定生成元时求出代数的谱。我们进而利用谱来给出余有限维子代数的描述。更确切地说,我们证明 $A$ 可由一组条件描述,其中每个条件要么是形如 $f(\alpha)=f(\beta)$(其中 $\alpha,\beta\in Sp(A)$)的类型,要么是声明在某些 $Sp(A)$ 元素处求值的若干不同阶导数的某个和为零的类型。我们利用这类条件,通过归纳过程,找出余维数不超过三的子代数的显式描述。这些描述还包含了每一类子代数的 SAGBI 基。