德萨格映射与广田-三輪方程

我们研究德萨格映射 $\phi:\ZZ^N\to\PP^M$，该映射生成点阵，其中所有点与其所有最近（正方向）邻点共线。该映射的多维相容性等价于德萨格定理及其高维推广。该映射的非线性对应是（一般情况下的）非交换广田-三輪系统。在复数域的交换情形中，我们应用非局域 $\bar\partial$- dressing 方法来构造德萨格映射及方程相应的解。特别地，我们将反演非局域 $\bar\partial$- dressing 问题的积分方程的弗雷德霍姆行列式与 $\tau$ 函数等同起来。最后，在同时考虑拉普拉斯变换的情况下，我们建立了德萨格映射与四边形点阵之间的等价性。