导出 Beilinson-Flach 元与模形式伴随型的算术

Kings、Lei、Loeffler 与 Zerbes 构造了关联于一对方对 Hida 族 $({\bf g},{\bf h})$ 的三变量 Euler 系统 $\kappa({\bf g},{\bf h})$ 的 Beilinson-Flach 元，并通过将该 Euler 系统专用于权 $(2,1,1)$ 的点，获得了关于椭圆曲线算术的应用。本文旨在表明，该 Euler 系统还在权 $(1,1,0)$ 的点处编码了关于关联数域单位群的算术信息。当 ${\bf g}$ 与 ${\bf h}$ 在权 $1$ 处专化为特征形式（eigenform）的 $p$-稳定化，且其中之一为另一之对偶时，这一情形变得尤为新颖且引人入胜。我们遇到了例外零现象，它迫使 $\kappa({\bf g}, {\bf h})$ 在 $(1,1,0)$ 处的专化消没，从而引导我们去研究该类元的导数。我们所获主要结果是证明了 Darmon、Lauder 与 Rotger 关于迭代积分的猜想，以及 Darmon 与 Rotger 关于伴随情形下 Beilinson-Flach 元的另一猜想。本文要点在于，先前工作中（上述猜想在权 $1$ 特征形式具 CM 时已被证明）所用方法不适用于我们的情形，需新思路。此处因缺乏临界点，$p$-进 $L$-函数的因式分解不可用。我们转而借助改进 Euler 系统与 $p$-进 $L$-函数的原理，将问题归约为可用 Galois 形变理论解决的疑问。我们期望此方法可调整以证明文献中出现的椭圆 Stark 猜想及其推广的其他情形。