L^p 余弦变换的导数

设 $f\in C_e(\Sn)$ 为偶连续函数，其 $L^p$-余弦变换定义为： $$H(x)=\int_{\Sn}|\ip{x}{\xi}|^pf(\xi) d\xi,\quad x\in {\R}^n.$$ 我们证明若 $p$ 不是偶整数，则 $H(x)$ 的所有不超过 $p+1$ 阶（若 $p$ 为奇整数则包含 $p+1$ 阶）的偶数阶偏导数在 ${\R}^n\backslash\{0\}$ 中处处存在且连续。作为相应微分公式的结果，我们证明若 $f$ 为有界正函数且 $p>1$，则 $H^{1/p}$ 是某凸体的支撑函数，该凸体边界具有处处正的 Gauss-Kronekcer 曲率。