从 Hamilton-Jacobi 方程和 Eikonal 方程推导 Schrodinger 方程

大多数量子力学教科书的作者要么假设 Schrodinger 方程，要么简短地给出一种“临时”的推导。本文给出从几何光学中的 Hamilton-Jacobi 方程和 Eikonal 方程推导 Schrodinger 方程的详细过程。我们从关于光的本质——它是粒子构成的光束，还是以太中的波—这场历史争论开始。我们推导 Eikonal 方程，并展示波行为粒子束的条件。随后，我们讨论了若干电子枪实验，清晰地显示了单个电子的衍射和干涉。为了解释这些实验，我们通过将经典力学中的 Hamilton-Jacobi 方程与几何光学中的 Eikonal 方程进行比较来推导 Schrodinger 方程。为此，我们首先展示如何从 Eikonal 方程推导波方程（而非相反）。随后，我们使用这种方法从 Hamilton-Jacobi 方程推导 Schrodinger 方程。接着，我们推导 Born 统计规律，利用de Broglie 的早期观点，即粒子和波共存。随后，我们指出，历史上人们倾向于将粒子（以及它们的轨迹）从 de Broglie 的思想中移除，但保留 Born 规律（即所谓的哥典解释）。这些量子力学基础的推导并不完全遵循学科的历史进程。相反，我们以明智的方式选择一些早期思想和实验，以逻辑有序的方式呈现 Schrodinger 方程。我们使用电子枪实验代替黑体辐射和光电效应。我们的推导可能为学生们关于令人困惑且相当神秘的量子力学主题带来更多的启发和满足感。