小波系统生成元集合的稠密性

给定 $\LL^2(\R^d)$ 中的一个函数 $\psi$，由 $\psi$ 生成的仿射（小波）系统，关联于可逆矩阵 $a$ 与格 $\zG$，是函数族 $\{|\det a|^{j/2} \psi(a^jx-\gamma): j \in \Z, \gamma \in \zG\}$。在本文中我们证明生成 $\LL^2(\R^d)$ 的 Riesz 基的仿射系统的函数集合在 $\LL^2(\R^d)$ 中稠密。我们也证明了对作为 $\LL^2(\R^d)$ 的框架的仿射系统，一个更强的结果成立。在此情形下我们证明关联于一个固定但任意的膨胀的生成元是一个稠密集。此外，我们分析了正交情形，其中我们证明紧支于频率的正交（不必完备）仿射系统的生成元集合在具有诱导度量的 $\LL^2(\R^d)$ 单位球中稠密。作为一个副产品我们引入了函数的 $p$-Grammian 并证明了该 Grammian 作为格的函数的收敛结果。此结果对仿射系统的过抽样问题提供了洞见。