Demazure 根与球面簇：水平 SL(2)-作用的例子

设 $G$ 为连通约化群，$X$ 为仿射 $G$-球面簇。我们证明，$X$ 上由 $G$ 正规化的 $\mathbb{G}_{a}$-作用的分类可归约为对半直积 $\mathbb{G}_{a}\rtimes G$ 作用下的拟仿射齐性空间的描述，且满足以下性质：诱导的 $G$-作用是球面的，且开轨道的补集要么为空，要么是余维数为一的 $G$-轨道。这些齐性空间由 $G$ 的特征格 $\mathbb{X}(G)$ 的一个子集 ${\rm Rt}(X)$ 参数化，我们称之为 $X$ 的 Demazure 根集。当 $G$ 是 ${\rm SL}_{2}$ 与代数环面的半直积时，我们给出了集合 ${\rm Rt}(X)$ 的完整描述；我们特别指出，${\rm Rt}(X)$ 可显式地表示为 $\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{X}(G)$ 中有限个多面体的并集与 $\mathbb{X}(G)$ 的一个子格的交集。我们猜想，对于任意仿射球面簇 $X$，${\rm Rt}(X)$ 均可通过类似的组合方式进行描述。