Deligne 配对与 Quillen 度量

设 $X\rightarrow S$ 是相对维数为 $n$ 的光滑射影满态射，其中 $X$ 和 $S$ 是 $\mathbb C$ 上的整概型。设 $L\rightarrow X$ 是一个相对非常丰富的线丛。对每个足够大的正整数 $m$，存在 Deligne 配对 $\langle L ,\cdots , L\rangle\rightarrow S$ 与行列式线丛 {\rm Det}((L- {\mathcal O}_{X})^{\otimes (n+1)}\otimes L^{\otimes m}) 之间的典范同构 \cite{PRS}。若我们在 $L$ 上固定一个厄米特结构并在 $X$ 上固定一个相对 K\"ahler 形式，则线丛 {\rm Det}((L- {\mathcal O}_{X})^{\otimes (n+1)}\otimes L^{\otimes m}) 与 $\langle L\, ,\cdots\, ,L\rangle$ 各自带有一个特定的厄米特结构。我们证明上述 $\langle L\, ,\cdots\, ,L\rangle\longrightarrow S$ 与 {\rm Det}((L- {\mathcal O}_{X})^{\otimes (n+1)}\otimes L^{\otimes m}) 之间的同构与这些厄米特结构相容。这对 \cite{BSW} 中某个 Deligne 配对与某一行列式线丛之间的同构也成立。