Deligne 配对与 Knudsen-Mumford 展开

设 $X\to B$ 是光滑拟射影簇之间相对维数为 $n$ 的 proper 平坦态射，$L\to X$ 是在纤维上丰富的线丛。我们建立了 $\det (\pi_* L^k)$ 的 Knudsen-Mumford 展开式中前两项用 $L$ 与相对典范丛 $K$ 的 Deligne 配对表示的公式。这推广了 Deligne 在相对维数为一族情形成立的定理。作为一个推论，我们证明当 $X$ 是光滑的（或更一般地，若 $X$ 适合于一光滑族），由第一与第三作者引入的关联于 $X\to B$ 的线丛与 Paul-Tian 定义的 CM 丛一致。在第二个推论中，我们建立了沿 Bergman 射线的 K-能量的渐近性，推广了 Paul-Tian 获得的一个公式。