液滴模型中的类 Delaunay 紧凑平衡

液滴模型由 Gamow 于1928年和 Bohr-Wheeler 于1938年提出，用于建模原子核。该模型描述了表面张力（保持核团聚合）与库仑力（质子间的排斥）之间的竞争。更准确地说，问题在于找到 $\mathbb{R}^3$ 中的一个 surface $\Sigma =\partial \Omega$，其对能量 $$E(\Omega) = {\rm Per\,} (\Omega ) + \frac 12 \int_\Omega\int_\Omega \frac {dxdy}{|x-y|}$$ 在体积约束 $|\Omega| = m$ 下是临界值。项 ${\rm Per\,} (\Omega )$ 对应于 $\Sigma$ 的表面积。关联的 Euler-Lagrange 方程为 $$H_\Sigma (x) + \int_{\Omega } \frac {dy}{|x-y|} = \lambda \quad \hbox{ for all } x\in \Sigma, \quad$$ 其中 $H_\Sigma$ 表示该表面的平均曲率，$\lambda\in\mathbb{R}$ 是体积约束 $|\Omega|=m$ 的拉格朗日乘子。包络体积为 $m$ 的圆球始终是解。它们在足够小的 $m$ 下是最小化者。由于两个能量项之间的竞争，寻找非最小化解可能具有挑战性。我们发现了一种新的紧凑嵌入解类，其体积较大，几何形状类似于“珠项链”，轴位于大圆上，形状接近常数平均曲率的 Delaunay 不规则面。由于与常数平均曲率问题 $H_\Sigma = \lambda$ 密切相关，且该问题的唯一紧凑嵌入解为球体（如经典 Alexandrov 结果所述），因此上述等效物的存在性并非理所当然。