由高斯-博内推得德恩-萨默维尔

我们给出有限简单图德恩-萨默维尔的一个零曲率证明。它使用参数化高斯-博内公式，该公式表明由G的f-向量定义的赋值G到f_G(t)=1+f0 t + ... + fd t^(d+1)的曲率，是F在单位球S(x)上评估的F的反导数。高斯-博内随之参数化，f_G(t) = sum_x F_(S(x))(t)，且对所有单纯复形G成立。欧拉示性数chi(G)的高斯-博内公式chi(G)=sum_x K(x)是t=-1的特例。德恩-萨默维尔等价于反射对称f_G(t)+(-1)^d f_G(-1-t)=0，这等价于F的相同对称。因此高斯-博内将G的德恩-萨默维尔与单位球S(x)的德恩-萨默维尔相关联，其中后者为零曲率条件。使德恩-萨默维尔成立的一类复形X_d通过要求对所有x有chi(G)=1+(-1)^d且S(x)属于X_(d-1)归纳定义。它起始于X_(-1)={{}}。例子有单纯球面（包括同调球面）、任意奇维离散流形、任意偶维且chi(G)=2的离散流形。它也包含不可定向者（其庞加莱对偶失效）或更奇异的空间，如单位球允许两个不相交的chi(G)=1流形副本的空间。德恩-萨默维尔存在于重心极限中。它是重心加细算子A的佩龙-弗罗贝尼乌斯特征向量的一种对称。A^T的偶特征函数，即重心德恩-萨默维尔泛函，在X上消失，如对所有4-流形有22 f1 - 33 f2 + 40 f3 - 45f4=0。