有限抽象单纯复形的亥姆霍兹自由能

我们证明了一个 Gauss-Bonnet 公式 X(G) = sum_x K(x)，其中 K(x)=(-1)^dim(x) (1-X(S(x))) 是单纯复形 G 的重心细分 G1 中顶点 x 的单位球 S(x) 的一种曲率。K(x) 与 (-1)^dim(x) 对偶，后者的 Gauss-Bonnet 即是欧拉特征 X 的定义。因为 G 的连接拉普拉斯算子 L'=1+A' 是 unimodular 的，其中 A' 是连接图 G' 的邻接矩阵，Green 函数值 g(x,y) = (1+A')^-1_xy 是整数且 1-X(S(x))=g(x,x)。因此 K^+ 的 Gauss-Bonnet 可写为 str(g)=X(G)，其中 str 是超迹。由于 g 是离散时间热核，这类似于 Hodge 拉普拉斯算子 L=dd^* +d^*d 的 McKean-Singer 公式 str(exp(-Lt)) = X(G)，二者处于同一希尔伯特空间。这两个公式对任意有限抽象单纯复形 G 都成立。令 V_x(y)= g(x,y) 为连接拉普拉斯算子的牛顿势，我们证明 sum_y V_x(y) = K(x)，因此根据新的 Gauss-Bonnet 公式，G 的欧拉特征等于 G 的总势论能量 sum_x,y g(x,y)=X(G)。曲率 K 现在与使复形的内能 U(p)=sum_x,y g(x,y) p(x) p(y) 最小化的概率测度 p 相关。由于内能（此处与拓扑相关）和 Shannon 熵都是泛函类中自然且唯一的，我们进而考察亥姆霍兹自由能 F(p)=(1-T) U(p)-T S(p) 的临界点 p，它结合了能量泛函 U 和熵泛函 S(p)=-sum_x p(x) log(p(x))。随着温度 T 的变化，我们观察到分支现象。即使对于 G=K_3，也同时出现鞍节分支和叉分支。鞍节分支导致灾变：若 p(T) 是自由能极小化子，则函数 T -> F(p(T),T) 是不连续的。