单纯复形的能量

一个有限抽象单纯复形 G 定义一个矩阵 L，其中若 G 中两个单形 x,y 相交则 L(x,y)=1，否则 L(x,y)=0。该矩阵总是幺模的，从而其逆矩阵 g 具有整数元素 g(x,y)。类比于欧氏空间上的拉普拉斯算子，这些格林函数元素定义了两个单形 x,y 之间的势能。我们证明对所有矩阵元素 g(x,y) 求和得到的总能量等于 G 的欧拉示性数 X(G)，且 L 的正特征值个数减去负特征值个数等于 X(G)。