关于单纯复形的一个德恩-索默维尔泛函

假设G是一个有限抽象单纯复形，其f-向量为(v0, v1, ...)，生成函数为f(x) = sum(k=1 v(k-1) x^k = v0 x + v1 x^2+ v2 x^3 + ...，则G的欧拉示性数可写为chi(G)=f(0)-f(-1)。我们在此研究泛函f1'(0)-f1'(-1)，其中f1'是G1的生成函数f1的导数。G的重心加细G1是某个有限简单图的惠特尼复形，对于该图，G的面是顶点，且两个面相连当且仅当一个面是另一个面的子集。设L是G的连接拉普拉斯算子，即L=1+A，其中A是连接图G'的邻接矩阵，G'与G1具有相同的顶点集，但两个面相连当且仅当它们相交。我们有f1'(0)=tr(L)，并且对于格林函数g L^(-1)也有f1'(-1)=tr(g)，因此eta1(G) = f1'(0)-f1'(-1)等于eta(G)=tr(L-L^(-1))。已建立的关于G1生成函数的公式tr(g)=f1'(-1)补充了G的连接图G'的鲍恩-兰福德zeta函数zeta(z)=1/det(1-z A)的行列式表达式det(L)=det(g)=zeta(-1)。我们还建立了一个高斯-博内公式eta1(G) = sum(x in V(G1) chi(S(x))，其中S(x)是x的单位球面，即由G1中所有与x直接相连的顶点生成的图。最后，我们指出，图上的泛函eta0(G) = sum(x in V(G) chi(S(x))在图的每个同伦型上可以取任意小和任意大的值。