四维渐近锥形梯度扩张孤立子的度理论

我们为四维、渐近锥形的梯度扩张孤立子发展了一种新的度理论。我们的理论意味着存在渐近于任意给定具有非负数量曲率的 $S^3$ 上锥的梯度扩张孤立子。若允许扩张孤立子具有 orbifold 奇点，我们还得到了其链环与 $S^3/\Gamma$ 微分同胚的锥的类似存在性结果。我们的理论揭示了一个称为扩张子度（expander degree）的新拓扑不变量的存在性，它适用于一类具有边界的紧致光滑 4-orbifold。该不变量大致等于可在 orbifold 内部定义且渐近于任意具有非负数量曲率的固定锥度量的所有可能梯度扩张孤立子的带符号计数。若某 orbifold 的扩张子度非零，则对任意此类锥度量均存在梯度扩张孤立子。我们证明 4-圆盘 $D^4$ 以及任意形如 $D^4/\Gamma$ 的 orbifold 的扩张子度等于 1。此外，我们证明某些 orbifold（包括奇异 4-圆盘）的扩张子度为零。我们的理论也阐明了梯度与非梯度扩张孤立子关于其渐近模型的关系。更具体地，我们证明在渐近锥形扩张孤立子的集合中，那些为梯度的孤立子之子集构成连通分支的并。