退化交叉数与带符号反转距离

给定平面中绘制的一个图,该绘制的退化交叉数是指平面上位于至少两条边相对内部中的点的个数,其中每条边须画为简单弧。一个图的退化交叉数是其所有绘制中最小的退化交叉数。给定一种绘制,在每个交叉点周围切割曲面的邻域并粘贴一个Möbius带,得到一个不可定向曲面,图上绘制可在此曲面上扩展为嵌入。由这一观察,Mohar推导出图的退化交叉数不超过其不可定向亏格,并猜想对任意图这些量相等。他还对具有固定嵌入格式的无线伪三角剖分提出了更强的猜想。本文中,我们证明了一个结构定理,得以理解在大量无线二部嵌入格式中退化交叉数与不可定向亏格何时重合。特别地,我们给出了Mohar更强猜想的一个反例,但表明在绝大多数2-顶点情形以及许多二部图中,Mohar猜想成立。两个带符号排列之间的反转距离是将一个排列变换为另一个排列所需的最少反转次数。若我们将带符号排列中每个元素在连续反转下的轨迹表示为简单弧,便得到具有退化交叉的2-顶点嵌入格式的绘制。我们的主要结果通过利用这一联系及基因组重排中的经典结果(Hannenhalli–Pevzner算法)得以证明,也可理解为当反转不一定按单调顺序发生对该算法的推广。