T-对数辛对数规范 Poisson 结构的形变与对称 Poisson CGL 扩张

对于复代数环面 $\mathbb{T}$，我们研究 $\mathbb{C}^n$ 上 $\mathbb{T}$-对数辛对数规范 Poisson 结构 $\pi_0$ 的 $\mathbb{T}$-不变 Poisson 形变。我们证明了 $\pi_0$ 的每一个具有线性无关 $(\mathbb{C}^\times)^n$-权重的 $\mathbb{T}$-不变一阶形变都是无阻碍的。对于由所谓对称 $\mathbb{T}$-作用数据定义的一类特殊的 $\pi_0$，我们证明了 $\pi_0$ 可以典范地形变为由 K. Goodearl 和 M. Yakimov 定义的对称 $\mathbb{T}$-Poisson CGL 扩张（$\mathbb{C}$ 的）。作为推论，我们根据对称 $\mathbb{T}$-Poisson CGL 扩张的对数规范项 $\pi_0$ 和 $\pi_0$ 的第二 $\mathbb{T}$-不变 Poisson 上同调对所有对称 $\mathbb{T}$-Poisson CGL 扩张进行了分类。我们进一步在所有对称 Poisson CGL 扩张中刻画了 Cartan 型的扩张，即与可对称化广义 Cartan 矩阵的根系中单根序列相关联的扩张。特别地，我们证明了半单复 Lie 群的 Bott-Samelson 胞和广义 Schubert 胞上的标准 Poisson 结构是其对数规范项的（唯一确定的）极大正规容许形变。最后，对于任何具有对数规范项 $\pi_0$ 的对称 $\mathbb{T}$-Poisson CGL 扩张 $\pi$，我们给出了一个显式公式，用 $\pi_0$ 的第二 $\mathbb{T}$-不变 Poisson 上同调的 $(\mathbb{C}^\times)^n$-权重来表示与 $\pi$ 相关联的 Goodearl-Yakimov 簇代数理论中的初始突变矩阵。