酉群对多面体和多边形的形变

我们将具有 $N$ 个面的带标架凸多面体集合引入为辛商 $C^2N//SU(2)$。带标架多面体随后由生活在 $C^2$ 中并满足适当闭合约束的 $N$ 个旋量参数化，定义了一个常规凸多面体以及每个面的一个相位。我们证明了酉群 $U(N)$ 在此相空间上的作用，该作用改变面的形状并允许将任何多面体映射到具有相同总面积的任何其他多面体。这实现了带标架多面体空间与 Grassmannian 空间 $U(N)/SU(2)*U(N-2)$ 的同构。我们展示了如何将多面体系综上几何可观测量 的平均值和相关性写为 $U(N)$ 上的多项式积分，并利用矩阵模型中的 Itzykson-Zuber 公式作为它们的生成函数。在量子情形下，带标架多面体相空间的正则量子化导出了 $SU(2)$ 交织算子 (intertwiners) 的 Hilbert 空间。单个面的面积被量子化为半整数（自旋），固定总面积的 Hilbert 空间构成 $U(N)$ 的不可约表示。我们定义了峰值位于经典带标架多面体上并在 $U(N)$ 变换下一致变换的相干交织算子态。$U(N)$ 特征公式可视为 Itzykson-Zuber 公式在量子层面的推广，并生成交织算子 Hilbert 空间上所有多项式可观测量的迹。我们最后表明，经典（凸）多边形可以用类似的方式描述，只需将 $U(N)$ 替换为 $O(N)$。我们以关于可以在多边形或多面体空间上定义的可能（形变）动力学的讨论作为结束。这项工作先验地在离散几何背景下是有用的，但当量子几何被定义为（量子化）多边形和多面体的粘合时，它也应与 2+1 和 3+1 维的（圈）量子引力相关。