洛伦兹多面体的形变：Kapovich-Millson 相空间与 SU(1,1) 交织子

我们描述了具有 $N$ 个面的多面体的 Kapovich-Millson 相空间的洛伦兹版本。从用一对复变量（或旋量）表示的 $\mathfrak{su}(1,1)$ 李代数的 Schwinger 表示出发，我们定义了三维闵可夫斯基空间 $\mathbb{R}^{1,2}$ 中类空向量的相空间。考虑该空间的 $N$ 个副本，并除以迫使这些三维向量之和为零的闭包约束，我们得到了法向量为类空、在洛伦兹变换下至多的具有 $N$ 个面的洛伦兹多面体的相空间。我们确定了一组生成性的 $SU(1,1)$ 不变观测量，其由泊松括号给出的流既生成保面积也生成改变面积的形变。我们进一步证明保面积观测量构成 $\mathfrak{gl}_{N}(\mathbb{R})$ 李代数，并且它们在固定总面积下对洛伦兹多面体生成 $GL_{N}(\mathbb{R})$ 作用。该作用是循环的，所有洛伦兹多面体均可由完全压扁的多面体（仅有两个非平凡面）经 $GL_{N}(\mathbb{R})$ 变换得到。所有这些特征在量子层面依然成立，其中量子洛伦兹多面体被定义为来自主连续系列的酉 $SU(1,1)$ 表示之间的 $SU(1,1)$ 交织子。这些 $SU(1,1)$-交织子是 3+1 维圈量子引力中类时切片自旋网络态的构建块，且本分析适用于量子引力中类时边界量子几何的形变，这对于准局域观测量和全息对偶的研究尤为相关。