李代数的形变与概型的归纳

设 $\L_m$ 为由 $\K^m$ 上 Jacobi 恒等式定义的法律（laws）的概型。代数李代数 $\g=\mathrm{R}\ltimes\n$ 在 $\L_m$ 中及其幂零部分 $\n$ 在 $\mathrm{R}$-不变李代数的概型 $\L_n^{\mathrm{R}}$（位于 $\K^n$ 上）中的局部研究是相互关联的。这一比较通过切片（slices）实现，切片分别是 $\g$ 与 $\n$ 在作用于 $\L_m$ 与 $\L_n^{\mathrm{R}}$ 的经典群轨道下的横截子概型。我们证明一个约化定理：在 $\g$ 的某些条件下，$\g$ 与 $\n$ 处切片的局部环同构。特别地，$\g$ 刚当且仅当 $\n$ 刚。在本文开头发展的形式体系中，以局部环 $\A$ 为底层的 $\g$ 的形变是从 $\L_m$ 在 $\g$ 处的局部环到 $\A$ 的局部态射。因此对 $\L_m$ 中一大类李代数 $\g$ 的形变研究等价于 $\L_n^{\mathrm{R}}$ 中 $\n$ 的形变研究“模去”群作用，这是一个更简单的问题。$\L_n^{\mathrm{R}}$ 的法律是幂零的（由 $\mathrm{R}$ 的选择决定），从而我们可以通过中心扩张构造这些法律。这对应于概型自身上的归纳 $\L_n^{\mathrm{R}}\to\L_{n+1}^{\mathrm{R}}$。我们将此研究限制于环面 $\mathrm{R}=\mathrm{T}$ 的某些切片。这引出了连续族的概念，并允许存在幂零参数 $t$（概型一般非既约）。这为 M. Gerstenhaber 形式形变理论中的阻碍类问题提供了一个可替代的形式体系。给出了 $t^2=0$（$t\neq 0$）与 $t^5=0$（$t^4\neq 0$）的例。