Lie 代数理想的变形

本文发展了 Lie 理想的变形理论。证明了 Lie 代数 $\mathfrak g$ 中理想 $\mathfrak i$ 的光滑变形分别对应于 $\mathfrak g$ 于其余元表示下的值域于 $\mathfrak i$ 的同调类。比较了与 $\mathfrak i$ 相关的同调与其他由 $\mathfrak i$ 定义的同调，如由 $\mathfrak i$ 作为 $\mathfrak g$ 的子 Lie 代数（Richardson, 1969）或由 Lie 代数态射 $\mathfrak g \to \mathfrak g/\mathfrak i$ 定义的同调。在选择 $\mathfrak i$ 在 Lie 代数 $\mathfrak g$ 的补元后，其变形复合被丰富为控制其变形的微分 graded Lie 代数，即其莫尔-卡塔元素与理想的（小）变形之间存在一一对应关系。此外，识别了同时控制 $\mathfrak{i}$ 及其所在 Lie 代数括号变形的 $L_{\infty}$-代数。在对给定 Lie 理想变形同调的低阶适当假设下，研究了理想的（拓扑）刚性与稳定性，以及对 Lie 代数理想变形的阻滞。