$\mathrm{PGL}(n,\mathbf{C})$ 中双曲流形的变形与边缘表示的离散性

设 $M$ 为一个带尖点的双曲 $3$-流形，例如纽结补空间。Thurston 证明了其基本群在 $\mathrm{PGL}(2,\mathbf{C})$ 中的形变空间（在共轭意义下）在双曲表示附近的复维数等于尖点的数量 $\nu$。自然地，人们会问某些表示在形变后是否仍保持离散。通常答案是否定的。一个简单的原因在于尖点内部：边缘表示（即 $\nu$ 个边缘环面的基本群的表示）的退化。事实上，除了一个可数集之外，它们通常会变成非离散的。这最后一个集合对应于 $M$ 上的双曲 Dehn 手术，对于这些手术，边缘表示不再忠实。我们在此工作于 $\mathrm{PGL}(n,\mathbf{C})$ 的框架下。双曲结构通过 $n$-维不可约表示提升为表示 $\rho \_{\mathrm {geom}}$。我们从 Menal-Ferrer 和 Porti 的工作中知道，$\rho \_{\textrm {geom}}$ 的形变空间具有复维数 $(n-1)\nu$。我们在此证明，与 $\mathrm{PGL}(2)$ 的情况不同，一般行为变为了边缘表示的离散性（和忠实性）：在几何表示的一个邻域内，非离散的边缘表示包含在一个余维数 $\geq 1$ 的实解析子簇中。