代数与几何结构的变形上同调

1953年，物理学家E. In\"onu和E.P. Wigner引入了李代数变形的概念，他们声称当$c$为光速时，狭义相对论（庞加莱群）中速度的组合律$(u,v) \rightarrow (u+v)/(1+(uv/c^2))$在极限$1/c \rightarrow 0$下应产生经典力学（伽利略群）中使用的组合律$(u,v) \rightarrow u + v$。然而，无量纲的组合律$(u'=u/c,v'=v/c) \rightarrow (u'+v')/(1+u'v')$不再包含扰动参数。尽管如此，这一思想催生了“代数结构的变形理论”，最终使用了李代数的Chevalley-Eilenberg上同调，并在七十年代成为计算机代数最早的应用之一。还可以注意到，广义相对论的主要思想是通过小无量纲参数$\phi/c^2$来变形时空的闵可夫斯基度量，其中$\phi=GM/r$是距离中心吸引质量$M$（引力常数为$G$）$r$处的引力势。几年后，引入了$n$维流形上“几何结构的变形理论”，可以提及黎曼、辛或复解析结构。尽管经常被猜想，但这两种方法之间的联系从未被展示过，本文的目的是通过新方法提供这个问题的解。关键工具是变换的李群或李伪群的“Vessiot结构方程”（1903），与“Cartan结构方程”相反，这些方程至今仍不为人知，并且包含“结构常数”，这些常数与常黎曼曲率的情况一样，通常与任何李代数无关。主要思想是引入纯微分的Janet序列$0 \rightarrow \Theta \rightarrow T \rightarrow F_0 \rightarrow F_1 \rightarrow ... \rightarrow F_n \rightarrow 0$作为无穷小变换的层$\Theta \subset T$的一个分解，并导出一个纯代数的“变形序列”，具有有限维向量空间和线性映射，即使$\Theta$是无穷维的。几何结构的无穷小等价问题与Janet序列在$F_0$处的局部正合性有关，而代数结构的变形问题与变形序列在$F_1$的不变截面处的正合性有关，即序列中再进一步的一步，这个出乎意料的结果解释了为什么之前引用的许多尝试都不成功。最后，我们通过例子强调计算机代数在任何显式计算中可能发挥的作用。