随机块模型框架下随机反应网络的零缺陷

零缺陷是一种重要的网络结构，并且是反应网络理论中许多著名结果的焦点。在我们之前的论文《Erdős-Rényi框架下零缺陷反应网络的普遍性》中，我们提供了一个框架来量化随机生成反应网络中零缺陷的普遍性。具体而言，给定一个具有 $n$ 个物种的随机生成二元反应网络，任意两顶点间以概率 $p_n$ 独立连边，我们确立了阈值函数 $r(n)=\frac{1}{n^3}$，使得当 $n \to \infty$ 时，若 $\frac{p_n}{r(n)}\to 0$ 则随机网络为零缺陷的概率收敛于1，若 $\frac{p_n}{r(n)}\to\infty$ 则收敛于0。以基础Erdős-Rényi框架为起点，本文通过控制参数 $\alpha_{i,j}$（$i,j\in \{0,1,2\}$ 枚举可能顶点的类型：零阶、一阶或二阶）对连边概率加权，提供了一个显著更灵活的框架。控制参数可被选取以生成具有特定底层结构的随机反应网络，例如具有极少流入与流出反应的“封闭”网络，或具有丰富流入与流出的“开放”网络。在此新框架下，对每组控制参数 $\{\alpha_{i,j}\}$，我们确立阈值函数 $r(n,\{\alpha_{i,j}\})$，使得随机网络为零缺陷的概率在 $\frac{p_n}{r(n,\{\alpha_{i,j}\})}\to 0$ 时收敛于1，在 $\frac{p_n}{r(n,\{\alpha_{i,j}\})}\to \infty$ 时收敛于0。