M-凸集上的递减极小化：背景与结构
组合数学
2021-07-19 v2
摘要
本工作是有关整数向量集合的递减极小（dec-min）元素的成对论文中的第一篇，其中若某向量的各分量中最大者尽可能小，在此基础上次大者尽可能小，依此类推，则称该向量为 dec-min。这一离散概念及其分数对应物此前在文献中以多种名称出现。我们考虑的域是一个 M-凸集，即整数基多面体的整数元素集合。分数情形与离散情形的一个基本区别在于：基多面体总有唯一的 dec-min 元素，而 M-凸集的 dec-min 元素集合具有丰富的结构，本文借助一条“规范链”对其加以描述。作为推论，我们证明该集合是通过用一个整数向量平移某拟阵的基的特征向量而得到的。基于这些刻画，我们证明一个元素是 dec-min 当且仅当其分量平方和最小，这一性质导出了一种新型极小极大定理。如姊妹篇所示，这些刻画还产生了强多项式算法，以及若干在资源分配、网络流、拟阵和图定向问题领域的应用，这些应用实际上为本文研究提供了主要动机。特别地，我们证明了一个关于图定向的猜想。
引用
@article{arxiv.2007.09616,
title = {Decreasing Minimization on M-convex Sets: Background and Structures},
author = {András Frank and Kazuo Murota},
journal= {arXiv preprint arXiv:2007.09616},
year = {2021}
}
备注
39 pages This is a revised version of the first half of "A. Frank and K. Murota; Discrete decreasing minimization, PartI: Base-polyhedra with applications in network optimization" arXiv:1808.07600