离散递减极小化,第二部分:来自离散凸分析的视角
组合数学
2020-07-01 v4
摘要
我们继续考虑第一部分中处理的整基多面体上的离散递减极小化问题。该问题是在一个整基多面体中寻找按分量递减排列的字典序极小整向量。本研究可视为 Fujishige (1980) 关于连续变量基多面体的字典序最优基与主划分工作的离散对应。第二部分的目的是双重的。第一是从离散凸分析(DCA)对第一部分中以构造与算法途径获得的结果提供结构视角。第二是为 DCA 途径处理其他离散结构(如 M-凸集的交、流、次模流)上的离散递减极小化铺平道路。我们从 DCA 中 M-凸集与 M-凸函数的基本事实推导出了第一部分的结构结果。对规范划分给出了直接刻画,该划分在第一部分中由迭代过程构造。这揭示了离散情形的规范划分与连续情形的主划分之间的精确关系。此外,该结果带来一个邻近定理,指出每个递减极小元都包含于含有(唯一的)分数递减极小元(最小范数点)的小盒子中,进而导出寻找 M-凸集递减极小元的连续松弛算法。从而连续与离散情形之间的关系被完全澄清。进一步地,我们给出了网络流、两个 M-凸集的交以及次模流的 DCA 极小极大公式。
引用
@article{arxiv.1808.08477,
title = {Discrete Decreasing Minimization, Part II: Views from Discrete Convex Analysis},
author = {András Frank and Kazuo Murota},
journal= {arXiv preprint arXiv:1808.08477},
year = {2020}
}
备注
59 pages