医学成像中的微分方程分解

在研究医学成像时，Peter Kuchment 和 Sergey Lvin 遇到了正弦、余弦与指数函数的一族可数微分恒等式。具体而言，若对于光滑函数 $u$ 与复数 $\lambda$ 满足最小微分方程 $u' = \lambda u$，则 $u$ 满足他们的所有恒等式 (i)。若 $u" = \lambda^2 u$，则 $u$ 满足所有奇数索引的恒等式 (ii)。他们未能确定 (iii) 是否还存在其他某种模式。我们将他们的第 $n$ 个恒等式实现为变量 $u$ 的多项式 $f_{n,\lambda}(u)$，该多项式具有整数系数。我们构造系数上的组合关系，为 Kuchment 和 Lvin 的某一结果提供另一种证明。我们还将 $f_{n,\lambda}(u)$ 中关于变量 $u$ 线性的部分分离出来，对 (iii) 给出否定回答，并描述线性多项式的分析如何与整个多项式的分析相关联。