Wasserstein 空间中测地线的分解与全局化性质

我们将证明 Wasserstein 测地线的一种分解，具体而言：设 $(X,d,m)$ 是一个满足 $\mathsf{CD}_{loc}(K,N)$ 或等价地满足 $\mathsf{CD}^{*}(K,N)$ 的非分支度量测度空间。我们证明，$L^{2}$-Wasserstein 空间中满足 $\mu_{t} \ll m$ 的每条测地线 $\mu_{t}$ 均可分解为两个密度的乘积，其中一个对应于支撑集余维数为 1 且满足 $\mathsf{CD}^{*}(K,N-1)$ 的测地线，另一个与精确的一维测度相关联，前提是长度映射具有局部 Lipschitz 正则性。我们进行此分解的动机在于利用按 $\mathsf{CD}^{*}$ 演化的分量来解决全局化问题。对于一类特定的最优传输，我们证明了另一分量在时间上的线性，从而获得了 $\mu_{t}$ 的全局 $\mathsf{CD}(K,N)$。因此，该结果可解释为针对此类最优传输的 $\mathsf{CD}(K,N)$ 全局化定理，或作为 $\mathsf{CD}^{*}(K,N)$ 的“自改进性质”。假设更高的正则性，即在无穷小严格凸度量测度空间的设定下，一维密度是两个微分的乘积，从而为密度分解提供了更深入的见解。