主代数 $\mathbb{Z}^d$-作用的抽取极限

设 $f$ 为含 $d$ 个交换变量且具有整数系数的 Laurent 多项式。与 $f$ 相关联的是紧子群 $X_f \subset \mathbb{T}^{\mathbb{Z}^d}$ 上的主代数 $\mathbb{Z}^d$-作用 $\alpha_f$，该子群由 $f$ 确定。令 $N\ge1$ 并将 $X_f$ 中的点限制到坐标属于 $N\mathbb{Z}^d$ 者。所得代数 $N\mathbb{Z}^d$-作用仍是主的，并与多项式 $g_N$ 相关联，其支撑随 $N$ 增长而增长，其系数随 $N$ 呈指数增长。我们证明，通过适当重整化这些抽取，可辨识出一种由 $f$ 的 Newton 多面体上的连续凹函数给出的极限行为，并表明该抽取极限是 $f$ 的 Ronkin 函数的 Legendre 对偶的负值。在含两个变量的某些情形中，抽取极限与 dimer 模型相关的随机曲面表面张力一致，但用于证明此结论的统计物理方法截然不同且依赖于该多项式的特殊性质。