基于不变叶状结构、流形与自编码器的数据驱动降阶模型

本文探讨如何从物理系统中识别降阶模型（ROM）。ROM捕捉所观测动力学的一个不变子集。我们发现物理系统与数学模型之间存在四种关联方式：不变叶状结构、不变流形、自编码器和无方程模型。不变流形和无方程模型的识别需要对系统进行闭环操控。不变叶状结构和自编码器也可使用离线数据。只有不变叶状结构和不变流形能识别ROM，其余识别完整模型。因此，从已有数据识别ROM的常见情况只能借助不变叶状结构实现。寻找不变叶状结构需要逼近高维函数。对于函数逼近，我们使用具有压缩张量系数的多项式，其复杂度随维度增加呈线性增长。不变流形也可作为叶状结构的固定叶求得，这仅要求我们在不变流形附近的小邻域内解析该叶状结构，极大简化了过程。将不变叶状结构与相应不变流形结合可提供准确的ROM。我们分析了焦点型平衡点的ROM，这在机械系统中很典型。由不变叶状结构或不变流形定义的非线性坐标系会扭曲瞬时频率和阻尼比，我们对此进行了修正。通过实例我们说明了不变叶状结构和流形的计算，同时表明在相同条件下Koopman特征函数和自编码器无法捕捉准确的ROM。