$(d,\boldsymbol{\sigma})$-Veronese 簇及其若干应用

设 $\mathbb{K}$ 为阶为 $q^t$ 的伽罗瓦域 $\mathbb{F}_{q^t}$，其中 $q=p^e$，$p$ 为素数，$A=\mathrm{Aut}(\mathbb{K})$ 为 $\mathbb{K}$ 的自同构群，$\boldsymbol{\sigma}=(\sigma_0,\ldots, \sigma_{d-1}) \in A^d$，$d \geq 1$。本文研究如下 Veronese 映射的推广： $$\nu_{d,\boldsymbol{\sigma}} : \langle v\rangle \in \mathrm{PG}(n-1,\mathbb{K}) \longrightarrow \langle v^{\sigma_0} \otimes v^{\sigma_1} \otimes \cdots \otimes v^{\sigma_{d-1}}\rangle \in \mathrm{PG} (n^d-1,\mathbb{K} ).$$ 其像称为 $(d,\boldsymbol{\sigma})$-$Veronese$ $簇$ $\mathcal{V}_{d,\boldsymbol{\sigma}}$。此处我们证明 $\mathcal{V}_{d,\boldsymbol{\sigma}}$ 是一条正规有理直纹面的 Grassmann 嵌入，且其任意 $d+1$ 个点线性无关。我们给出 $\mathcal{V}_{d,\boldsymbol{\sigma}}$ 中 $d+2$ 个线性相关点的刻画；对某些参数选择，$\mathcal{V}_{p,\boldsymbol{\sigma}}$ 是正规有理曲线；当 $p=2$ 时，它可以是 $\mathrm{PG}(3,q^t)$ 的 Segre 弧；当 $p=3$ 时 $\mathcal{V}_{p,\boldsymbol{\sigma}}$ 也可以是 $\mathrm{PG}(5,q^t)$ 的一个 $|\mathcal{V}_{p,\boldsymbol{\sigma}}|$-轨迹。最后，研究这些点集与可关联到该簇的线性码 $\mathcal{C}_{d,\boldsymbol{\sigma}}$ 之间的联系，得到 MDS 码与几乎 MDS 码的例子。